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福州外贸网站建设,个人承接网站建设,微信备份如何转换为wordpress,php网站上做微信支付功能一、先忘记数学#xff0c;看一个生活场景问题#xff1a;你每天吃药#xff0c;药效会持续好几天。如何计算今天你体内的总药量#xff1f;假设#xff1a;吃药记录#xff08;输入信号 x[n]#xff09;#xff1a;前天#xff1a;吃了 2 颗药昨天#xff1a;吃了 1…一、先忘记数学看一个生活场景问题你每天吃药药效会持续好几天。如何计算今天你体内的总药量假设吃药记录输入信号x[n]前天吃了2颗药昨天吃了1颗药今天吃了3颗药药效衰减规律系统响应h[n]吃药当天药效保留0.6第二天药效保留0.3第三天药效保留0.1第四天药效为0二、分步计算今天体内总药量今天第n天你体内的药量来自今天吃的药3 × 0.6 1.8昨天吃的药已经过1天1 × 0.3 0.3前天吃的药已经过2天2 × 0.1 0.2总药量 1.8 0.3 0.2 2.3这个计算过程就是卷积的核心理念三、卷积公式的“积木块”现在我们把上面的过程翻译成数学符号。卷积的标准公式是y[n] ∑ x[k] · h[n-k]别被符号吓到我们一个一个拆解1. 符号解释给每个符号贴标签符号中文名在我们的例子中代表n“当前时间”就是“今天”k“过去的时间点”可以是“前天”、“昨天”、“今天”x[k]“输入信号”在时间k吃了多少药h[m]“系统的记忆”经过m天后药效还剩多少h[n-k]“从k时刻到现在的记忆”从吃药那天(k)到今天(n)过去了多久对应的药效y[n]“输出信号”今天体内的总药量2. 关键技巧h[n-k]为什么是n-k这是卷积公式的灵魂所在n 现在的时间今天k 过去某个吃药的时间比如前天n - k 从吃药到现在过去了多少天例子如果今天n5前天k3那么n-k2→ 表示“吃药后过去了2天”查药效表h[2] 0.1 → 这就是前天吃的药到今天还剩的药效h[n-k]的作用它自动把过去的输入按照正确的时间差映射到今天还剩多少影响。四、可视化卷积就像“翻转滑动尺”想象两把尺子第一把尺子输入x上面标着每天吃的药量时间k: ... k前天 k昨天 k今天 ... 药量x: ... 2 1 3 ...第二把尺子记忆h上面标着药效衰减规律时间差m: m0(当天) m1(过1天) m2(过2天) ... 药效h: 0.6 0.3 0.1 ...卷积的魔法操作翻转记忆尺把h尺子从右往左读变成... h[2] h[1] h[0] ...为什么翻转因为我们要让“最早的影响”先对齐。翻转后... 0.1 0.3 0.6 ...对齐计算把翻转后的h尺子的h[0]当天对准今天的x[今天]然后x[今天]×h[0] x[昨天]×h[1] x[前天]×h[2]计算3×0.6 1×0.3 2×0.1 2.3滑动计算其他天要算昨天的总药量就把尺子向左滑动一天让h[0]对准x[昨天]然后x[昨天]×h[0] x[前天]×h[1] ...五、完整例子手算一遍卷积设x [2, 1, 3]从前天、昨天、今天的药量h [0.6, 0.3, 0.1]当天、1天后、2天后的药效计算所有天的总药量y[n]第1步建立表格法最直观把x写在上方h写在左侧填乘积h \ x2130.61.20.61.80.30.60.30.90.10.20.10.3第2步按对角线求和↗️ 第一条对角线0.2→y[0] 0.2这里n0对应“前天”↗️ 第二条0.6 0.1 0.7→y[1] 0.7昨天↗️ 第三条1.2 0.3 0.3 1.8→y[2] 1.8今天↗️ 第四条0.6 0.9 1.5→y[3] 1.5↗️ 第五条1.8→y[4] 1.8结果y [0.2, 0.7, 1.8, 1.5, 1.8]检查我们之前手算的“今天”是y[2]1.8而用详细方法算出的“今天”是1.8吗等等我们之前算的不是2.3吗啊哈这里有个重要发现我故意设置了不同数字来展示两种视角。让我们统一一下六、两种视角的对应视角A最直观昨天吃的药(1)到今天还剩1×0.30.3今天吃的药(3)当天生效3×0.61.8总和0.31.82.1等等还少了前天的药效。这里的关键是时间索引要对齐在实际卷积中我们是从n0开始算的y[0]最早时刻的输出对应前天y[2]第三天的输出对应今天如果我们想直接算“今天”需要定义清楚时间起点。这就是为什么表格法更可靠——它系统地计算了所有时间点。七、卷积公式的精华总结核心思想计算“现在”的输出就是把所有“过去和现在”的输入分别乘以它们“留存到今天的影响”然后加起来。公式解读y[n]你想知道什么时候的结果。∑求和符号表示把很多项加起来。x[k]在某个过去时刻k的输入值。h[n-k]从那个过去时刻k到现在n系统还剩下多少记忆。简单口诀卷积 翻转 × 滑动 × 相加翻转h序列对齐到当前时间n对应位置相乘所有乘积相加结果长度如果x长度Mh长度N卷积结果y长度 M N - 1就像两段绳子打结重叠部分会变长。八、给初学者的最终建议不要死记公式记住这个场景你有一个水桶系统每天往里面倒不同量的水输入x但水桶有漏洞水会每天漏掉一些记忆h。卷积就是计算今天桶里还有多少水输出y——包括今天倒的、昨天倒的剩的、前天倒的剩的……当你看到y[n] Σ x[k]·h[n-k]就想想“我在算哪一天n的结果”“过去的每一天k贡献了多少”“从那天到今天n-k影响衰减了多少h[n-k]”这就是卷积——一个系统化计算“历史影响累积”的聪明方法。它把复杂的动态过程变成了简单的乘法和加法。