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中国工程建设网官方网站,做网站linux主机,网站建设空间和服务器方式,上海什么做网站的公司比较好题目翻译 在一个等边三角形中#xff0c;每条边上有 nnn 个均匀分布的“点”#xff0c;这些点构成了一个三角形点阵。下图展示了 n4n4n4 时的点阵示例。 问题#xff1a; 在这个点阵中#xff0c;有多少个不同的等边三角形#xff1f;要求每个等边三角形的顶点必须是点阵…题目翻译在一个等边三角形中每条边上有nnn个均匀分布的“点”这些点构成了一个三角形点阵。下图展示了n4n4n4时的点阵示例。问题在这个点阵中有多少个不同的等边三角形要求每个等边三角形的顶点必须是点阵中的点。注意等边三角形有多种大小和方向。输入格式输入包含多行每行一个整数nnn(2≤n≤100)(2 \leq n \leq 100)(2≤n≤100)表示每条边上的点数。输入以一行单独的000结束。输入文件不超过202020行。输出格式对于每个nnn输出一行表示在该点阵中可以找到的不同等边三角形的总数。题目分析本题要求计算在边长为nnn每条边有nnn个点的等边三角形点阵中所有顶点落在格点上的等边三角形的数量。这些三角形可以有不同的边长和方向不能遗漏。关键观察点阵结构点阵共有n(n1)2\frac{n(n1)}{2}2n(n1)​个点排列成一个正三角形。等边三角形的可能方向在正三角形网格中等边三角形并不只有“一条边水平”这一种方向。实际上由于网格具有60∘60^\circ60∘和120∘120^\circ120∘的对称性存在多种方向的等边三角形。直接枚举所有方向并计数非常复杂。组合数学方法通过观察样例数据当n2n2n2时答案为111当n3n3n3时答案为555我们可以猜测答案可能是一个关于nnn的多项式。公式推导结论经过数学推导或查表OEIS A000332\texttt{OEIS A000332}OEIS A000332可以发现答案等于组合数(n24)\binom{n2}{4}(4n2​)。即答案(n2)(n1)n(n−1)24 \text{答案} \frac{(n2)(n1)n(n-1)}{24}答案24(n2)(n1)n(n−1)​为什么是这个公式一种经典解释是在正三角形点阵中每个等边三角形唯一对应一个由四个点确定的“外接平行四边形”或通过某种投影映射到四个顶点因此总数等于从n2n2n2个“虚拟顶点”中选择444个的组合数。具体证明涉及对网格的坐标变换和计数这里不做展开。解题思路读入nnn直到遇到000为止。对于每个nnn直接使用公式计算answer(n2)×(n1)×n×(n−1)24 \texttt{answer} \frac{(n2) \times (n1) \times n \times (n-1)}{24}answer24(n2)×(n1)×n×(n−1)​注意使用long long或int64_t避免乘法溢出。输出结果。时间复杂度O(1)O(1)O(1)每询问。空间复杂度O(1)O(1)O(1)。代码实现// Equilateral Triangle in a Grid// UVa ID: 12630// Verdict: Accepted// Submission Date: 2025-12-17// UVa Run Time: 0.000s//// 版权所有C2025邱秋。metaphysis # yeah dot net#includebits/stdc.husingnamespacestd;intmain(){intn;while(cinnn){// 公式C(n2, 4) (n 2) * (n 1) * n * (n - 1) / 24longlonganswer1LL*(n2)*(n1)*n*(n-1)/24;coutanswerendl;}return0;}样例验证输入2 3 0输出1 5与题目样例一致。总结本题是一个经典的组合计数问题关键在于找到隐藏的组合数公式(n24)\binom{n2}{4}(4n2​)。直接枚举所有三角形在n≤100n \leq 100n≤100时不可行因此必须依靠数学推导或已知结论。在竞赛中如果遇到类似“正三角形网格中等边三角形计数”的问题可以尝试使用这个公式。