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网站建设的申请,wordpress页面的设置,漳平网站建设,想做网站怎么做视觉SLAM十四讲-(3.15)罗德里格斯公式推导 罗德里格斯公式详细推导过程 罗德里格斯公式#xff08;Rodrigues’ Rotation Formula#xff09;用于将旋转向量#xff08;轴角表示#xff09;转换为旋转矩阵。其核心推导步骤如下#xff1a; 1. 旋转向量的定义 旋转由旋转轴…视觉SLAM十四讲-(3.15)罗德里格斯公式推导罗德里格斯公式详细推导过程罗德里格斯公式Rodrigues’ Rotation Formula用于将旋转向量轴角表示转换为旋转矩阵。其核心推导步骤如下1. 旋转向量的定义旋转由旋转轴单位向量 ( \mathbf{k} [k_x, k_y, k_z]^TKaTeX parse error: Cant use function \( in math mode at position 7: 和旋转角 \̲(̲ \theta描述。旋转向量表示为 ( \boldsymbol{\theta} \theta \mathbf{k}KaTeX parse error: Cant use function \( in math mode at position 5: 其中 \̲(̲ \|\mathbf{k}\|…。2. 向量分解任意向量 ( \mathbf{v}KaTeX parse error: Cant use function \( in math mode at position 15: 可分解为平行于旋转轴的分量 \̲(̲ \mathbf{v}_{\p…和垂直于旋转轴的分量 ( \mathbf{v}_{\perp}$平行分量( \mathbf{v}_{\parallel} (\mathbf{v} \cdot \mathbf{k}) \mathbf{k}$垂直分量( \mathbf{v}{\perp} \mathbf{v} - \mathbf{v}{\parallel} \mathbf{v} - (\mathbf{v} \cdot \mathbf{k}) \mathbf{k}$3. 旋转后的向量分量旋转后平行分量 ( \mathbf{v}_{\parallel}KaTeX parse error: Cant use function \( in math mode at position 11: 保持不变垂直分量 \̲(̲ \mathbf{v}_{\p…绕轴旋转 ( \theta$角平行分量旋转( \mathbf{v}{\parallel \text{rot}} \mathbf{v}{\parallel}$垂直分量旋转( \mathbf{v}{\perp \text{rot}} \cos \theta \mathbf{v}{\perp} \sin \theta (\mathbf{k} \times \mathbf{v})$4. 合并旋转向量表达式旋转后的向量 ( \mathbf{v}_{\text{rot}}$为vrotv∥rotv⊥rot(v⋅k)kcos⁡θ(v−(v⋅k)k)sin⁡θ(k×v)\mathbf{v}_{\text{rot}} \mathbf{v}_{\parallel \text{rot}} \mathbf{v}_{\perp \text{rot}} (\mathbf{v} \cdot \mathbf{k}) \mathbf{k} \cos \theta (\mathbf{v} - (\mathbf{v} \cdot \mathbf{k}) \mathbf{k}) \sin \theta (\mathbf{k} \times \mathbf{v})vrot​v∥rot​v⊥rot​(v⋅k)kcosθ(v−(v⋅k)k)sinθ(k×v)5. 矩阵形式转换将点积和叉积转换为矩阵运算点积项( (\mathbf{v} \cdot \mathbf{k}) \mathbf{k} \mathbf{k} \mathbf{k}^T \mathbf{v}$叉积项( \mathbf{k} \times \mathbf{v} \mathbf{K} \mathbf{v}KaTeX parse error: Cant use function \( in math mode at position 5: 其中 \̲(̲ \mathbf{K}是 ( \mathbf{k}$的反对称矩阵K[0−kzkykz0−kx−kykx0]\mathbf{K} \begin{bmatrix} 0 -k_z k_y \\ k_z 0 -k_x \\ -k_y k_x 0 \end{bmatrix}K​0kz​−ky​​−kz​0kx​​ky​−kx​0​​代入后表达式变为vrotcos⁡θv(1−cos⁡θ)kkTvsin⁡θKv\mathbf{v}_{\text{rot}} \cos \theta \mathbf{v} (1 - \cos \theta) \mathbf{k} \mathbf{k}^T \mathbf{v} \sin \theta \mathbf{K} \mathbf{v}vrot​cosθv(1−cosθ)kkTvsinθKv6. 旋转矩阵的推导提取公共矩阵项得到旋转矩阵 ( \mathbf{R}$vrot[cos⁡θI(1−cos⁡θ)kkTsin⁡θK]v\mathbf{v}_{\text{rot}} \left[ \cos \theta \mathbf{I} (1 - \cos \theta) \mathbf{k} \mathbf{k}^T \sin \theta \mathbf{K} \right] \mathbf{v}vrot​[cosθI(1−cosθ)kkTsinθK]v因此旋转矩阵 ( \mathbf{R}$为Rcos⁡θI(1−cos⁡θ)kkTsin⁡θK\mathbf{R} \cos \theta \mathbf{I} (1 - \cos \theta) \mathbf{k} \mathbf{k}^T \sin \theta \mathbf{K}RcosθI(1−cosθ)kkTsinθK7. 公式总结罗德里格斯公式的最终形式为RIsin⁡θK(1−cos⁡θ)K2\mathbf{R} \mathbf{I} \sin \theta \mathbf{K} (1 - \cos \theta) \mathbf{K}^2RIsinθK(1−cosθ)K2其中 ( \mathbf{K}^2$是反对称矩阵的平方可展开为K2[−ky2−kz2kxkykxkzkxky−kx2−kz2kykzkxkzkykz−kx2−ky2]\mathbf{K}^2 \begin{bmatrix} -k_y^2 - k_z^2 k_x k_y k_x k_z \\ k_x k_y -k_x^2 - k_z^2 k_y k_z \\ k_x k_z k_y k_z -k_x^2 - k_y^2 \end{bmatrix}K2​−ky2​−kz2​kx​ky​kx​kz​​kx​ky​−kx2​−kz2​ky​kz​​kx​kz​ky​kz​−kx2​−ky2​​​几何意义与验证平行分量保持原方向对应公式中的 ( (\mathbf{v} \cdot \mathbf{k}) \mathbf{k}$。垂直分量在垂直平面内旋转 ( \thetaKaTeX parse error: Cant use function \( in math mode at position 5: 角由 \̲(̲ \cos \theta \m…和 ( \sin \theta (\mathbf{k} \times \mathbf{v})$组合。等号条件当 ( \theta 0KaTeX parse error: Cant use function \( in math mode at position 3: 时\̲(̲ \mathbf{R} \…当 ( \theta 2\pi$时旋转一周回到原位。应用场景计算机视觉相机位姿估计、SLAM中的旋转表示。机器人学机械臂运动规划、姿态控制。航空航天飞行器姿态动力学、导航系统。罗德里格斯公式通过简洁的矩阵运算实现了旋转向量的高效转换是三维旋转表示的核心工具之一。