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梁平网站建设,下载android版本下载安装,棋牌推广,福田网站设计文章目录#x1f4cb; 例题一: 理解深度优先搜索树的逻辑#x1f3af; 一、理解点周游的逻辑1.1 什么是点周游#xff1f;1.2 点周游的执行逻辑#x1f504; 二、理解回溯的逻辑2.1 什么是回溯#xff1f;2.2 回溯的触发…文章目录 例题一: 理解深度优先搜索树的逻辑 一、理解点周游的逻辑1.1 什么是点周游1.2 点周游的执行逻辑 二、理解回溯的逻辑2.1 什么是回溯2.2 回溯的触发条件2.3 回溯的执行过程✅ 三、理解顶点标记完成的逻辑 四、理解反向边的逻辑➕ 五、理解交叉边的逻辑 六、综合理解边的分类判断流程 总结 题目二理解强连通分量 一、什么是强连通分量1.1 强连通的定义1.2 强连通分量的定义✅ 二、验证每个强连通分量3.1 分量1{a, g, d}、{e, h, k, m, p, s} ***有交叉点的不算3.2 分量2{j}、{b}、{c}、{f} 三、理解分量图Component Graph 四、**核心思想**与常见模式 例题一: 理解深度优先搜索树的逻辑 一、理解点周游的逻辑1.1 什么是点周游点周游Vertex Traversal按照某种顺序系统地访问图中的所有顶点。DFS的点周游特点深度优先选择一条路径一直走到头回溯走到头后返回上一个路口注意是返回到上一个路口继续探索尝试其他未走过的路径1.2 点周游的执行逻辑核心思想像走迷宫一样一条路走到头然后回溯。执行步骤1. 选择一个未访问的起点如 a ↓ 2. 访问这个顶点标记为 GRAY记录 d[u] ↓ 3. 按顺序访问它的每个未访问邻居 ↓ 4. 对每个邻居递归执行步骤2-3深度优先 ↓ 5. 当所有邻居都访问完标记为完成标记为 BLACK记录 f[u] ↓ 6. 回溯到父节点 ↓ 7. 如果还有未访问的顶点从步骤1开始关键理解深度优先从a aa到b bb到p pp到f ff一条路走到头回溯f ff完成后回到p ppp pp完成后回到b bbb bb完成后回到a aa继续探索回到a aa后继续访问a aa的下一个邻居g gg 二、理解回溯的逻辑2.1 什么是回溯回溯Backtrack当从某个顶点出发的所有路径都探索完后返回到父节点继续探索父节点的其他路径。2.2 回溯的触发条件什么时候回溯当前顶点没有未访问的邻居例如f ff没有出边立即回溯当前顶点的所有邻居都已访问例如p pp的邻居f ff已访问完回溯到b bb2.3 回溯的执行过程回溯的步骤当前顶点 u 的所有邻居都访问完 ↓ 标记 u 为完成记录 f[u] ↓ u 从 GRAY 变为 BLACK ↓ 返回到 u 的父节点 π[u] ↓ 父节点继续访问下一个未访问的邻居关键理解回溯不是结束回溯只是返回到父节点继续探索记忆回溯是递归返回就像函数调用栈完成当前函数后返回调用者回溯后继续返回到父节点后继续访问父节点的其他邻居✅ 三、理解顶点标记完成的逻辑标记完成的条件当前顶点没有出边例如f ff没有出边立即标记完成当前顶点的所有邻居都已访问例如p pp的邻居f ff已访问完标记p pp完成所有邻居都已处理访问或跳过例如b bb的邻居p pp已访问完标记b bb完成关键理解完成是递归的子节点完成后父节点才能完成完成时间递增f ( f ) f ( p ) f ( b ) f(f) f(p) f(b)f(f)f(p)f(b)完成意味着回溯完成一个顶点后立即回溯到父节点时间戳的嵌套关系重要性质如果v vv是u uu的儿子则[ d ( v ) , f ( v ) ] ⊆ [ d ( u ) , f ( u ) ] [d(v), f(v)] \subseteq [d(u), f(u)][d(v),f(v)]⊆[d(u),f(u)]例题验证b bb是a aa的儿子[ 2 , 13 ] ⊆ [ 1 , 26 ] [2, 13] \subseteq [1, 26][2,13]⊆[1,26]✓p pp是b bb的儿子[ 7 , 12 ] ⊆ [ 2 , 13 ] [7, 12] \subseteq [2, 13][7,12]⊆[2,13]✓f ff是p pp的儿子[ 9 , 10 ] ⊆ [ 7 , 12 ] [9, 10] \subseteq [7, 12][9,10]⊆[7,12]✓理解父节点的访问时间区间包含所有子节点的访问时间区间这反映了DFS的递归性质先完成子节点再完成父节点记忆点 四、理解反向边的逻辑反向边Back Edge从当前顶点u uu指向其祖先v vv的边。判断条件访问边( u , v ) (u, v)(u,v)时v vv是GRAY灰色v vv是u uu的祖先在DFS树中v vv是u uu的上层节点反向边的作用检测环如果存在反向边说明图中存在环理解图的结构反向边揭示了图的循环依赖关系关键理解GRAY 正在访问 祖先如果v vv是 GRAY说明v vv在调用栈中是u uu的祖先反向边形成环反向边( u , v ) (u, v)(u,v)说明存在从v vv到u uu的路径DFS树路径加上边( u , v ) (u, v)(u,v)形成环➕ 五、理解交叉边的逻辑交叉边Cross Edge从当前顶点u uu指向一个既不是其祖先也不是其后代的顶点v vv的边。判断条件访问边( u , v ) (u, v)(u,v)时v vv是BLACK黑色且d ( v ) d ( u ) d(v) d(u)d(v)d(u)v vv比u uu更早被发现交叉边的特点v vv已经完成BLACKv vv比u uu更早被发现u uu和v vv不在同一棵子树中关键理解BLACK 更早发现 交叉边如果v vv是 BLACK 且d ( v ) d ( u ) d(v) d(u)d(v)d(u)说明v vv在另一个分支中( u , v ) (u, v)(u,v)是交叉边交叉边连接不同分支交叉边连接了DFS树中不同的分支 六、综合理解边的分类判断流程快速判断口诀白色是树边灰色是反向 黑色看时间前向交叉分。详细解释WHITE→ 树边v vv是u uu的儿子GRAY→ 反向边v vv是u uu的祖先BLACK→ 看时间戳d ( u ) d ( v ) d(u) d(v)d(u)d(v)→ 前向边v vv是u uu的后代d ( v ) d ( u ) d(v) d(u)d(v)d(u)→ 交叉边u uu和v vv无直系关系例题中的边分类总结树边Tree Edge( a , b ) , ( b , p ) , ( p , f ) , ( a , g ) , ( g , h ) , ( h , k ) , ( e , d ) (a, b), (b, p), (p, f), (a, g), (g, h), (h, k), (e, d)(a,b),(b,p),(p,f),(a,g),(g,h),(h,k),(e,d)等反向边Back Edge标记 B( j , b ) (j, b)(j,b)b bb是j jj的祖先( f , p ) (f, p)(f,p)p pp是f ff的祖先( d , a ) (d, a)(d,a)a aa是d dd的祖先( s , g ) (s, g)(s,g)g gg是s ss的祖先( k , h ) (k, h)(k,h)h hh是k kk的祖先( k , k ) (k, k)(k,k)自环指向自己GRAY前向边Forward Edge标记 F( a , s ) (a, s)(a,s)s ss是a aa的后代但不在DFS树中通过其他路径访问交叉边Cross Edge标记 C( e , j ) (e, j)(e,j)j jj是 BLACKd ( j ) d ( e ) d(j) d(e)d(j)d(e)( h , f ) (h, f)(h,f)f ff是 BLACKd ( f ) d ( h ) d(f) d(h)d(f)d(h)( h , m ) (h, m)(h,m)m mm是 BLACKd ( m ) d ( h ) d(m) d(h)d(m)d(h)( g , p ) (g, p)(g,p)p pp是 BLACKd ( p ) d ( g ) d(p) d(g)d(p)d(g) 总结核心概念理解点周游深度优先探索回溯继续回溯子节点完成后返回父节点完成标记所有邻居访问完标记为BLACK反向边指向祖先GRAY的边交叉边指向已完成且更早发现的顶点BLACK d ( v ) d ( u ) d(v) d(u)d(v)d(u)的边判断流程访问边(u,v)↓v是 WHITE → 树边v是 GRAY → 反向边v是 BLACK → d(u)d(v) → 前向边 → d(v)d(u) → 交叉边 题目二理解强连通分量(b) 列出属于以下每个集合的所有边反向边的集合​ (d, a), (m, p), (k, h)前向边的集合​ (a, e), (a, s)交叉边的集合(j, b), (c, b), (k, f), (d, s)© 找出强连通分量并绘制分量图。 一、什么是强连通分量1.1 强连通的定义强连通Strongly Connected有向图中如果从顶点u uu到v vv有路径且从v vv到u uu也有路径则称u uu和v vv是强连通的关键理解双向可达不仅u uu能到v vvv vv也能到u uu有向图特有无向图中如果u uu能到v vv则v vv一定能到u uu因为边是双向的1.2 强连通分量的定义强连通分量Strongly Connected Component, SCC有向图中任意两个顶点都互相可达的最大顶点集合最大意味着不能再加入其他顶点而仍然保持强连通关键理解任意两个顶点分量内的任意两个顶点都互相可达最大不能再加入其他顶点不相交不同的强连通分量之间没有公共顶点✅ 二、验证每个强连通分量3.1 分量1{a, g, d}、{e, h, k, m, p, s} ***有交叉点的不算验证任意两个顶点都互相可达关键理解这些顶点之间存在循环路径例如p → e → h → … → p形成环任意两个顶点都可以通过这个环互相到达3.2 分量2{j}、{b}、{c}、{f}验证单个顶点理解单个顶点j jj自己到自己可达长度为0的路径所以{ j } \{j\}{j}是一个强连通分量为什么j jj不能和其他顶点在一起结论{j} 是一个强连通分量 ✓ 三、理解分量图Component Graph分量图Component Graph将每个强连通分量缩成一个顶点如果原图中存在从分量A AA到分量B BB的边则在分量图中添加边A → B A → BA→B关键性质有向无环图DAG分量图一定是有向无环图拓扑排序可以对分量图进行拓扑排序简化问题将复杂的图简化为分量图更容易分析理解分量图将原图压缩每个分量变成一个点分量图反映了不同强连通分量之间的关系分量图是DAG可以进行拓扑排序 四、核心思想与常见模式核心思想互相可达不仅u uu能到v vvv vv也能到u uu形成环强连通分量内的顶点形成循环路径最大集合不能再加入其他顶点常见模式模式1单个顶点单个顶点总是自己的强连通分量模式2形成环的顶点如果几个顶点形成环a → b → c → a则它们在一个强连通分量中模式3复杂的循环结构多个顶点通过复杂的路径形成循环则它们在一个强连通分量中记忆口诀强连通分量互相可达单个顶点也算分量形成环的顶点在一起分量图是DAG可排序