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学校建网站,wordpress icon 插件,临沂seo建站,软件工程课程设计文章目录二次型的定义与矩阵表示化二次型为标准型与规范型配方法合同变换法正交变换法正定二次型二次型的定义与矩阵表示 简单来说#xff0c;二次型就是由n元变量#xff08;比如 x1,x2,...,xnx₁, x₂, ..., xₙx1​,x2​,...,xn​#xff09;构成的二次齐次多项式#…文章目录二次型的定义与矩阵表示化二次型为标准型与规范型配方法合同变换法正交变换法正定二次型二次型的定义与矩阵表示简单来说二次型就是由n元变量比如x 1 , x 2 , . . . , x n x₁, x₂, ..., xₙx1​,x2​,...,xn​构成的二次齐次多项式称为n元二次型简称二次型。考研只研究系数a i j ∈ R a_{ij}∈Raij​∈R的情况故称此二次型f为实二次型。它的每一项都是二次的例如3 x 1 2 2 x 1 x 2 x 2 2 3x₁² 2x₁x₂ x₂²3x12​2x1​x2​x22​。任何一个二次型都可以用一个实对称矩阵来唯一表示记为矩阵形式f x T A x ​ f xᵀAx​fxTAx​。二次型的矩阵A是一个对称矩阵满足A T A A^TAATA化二次型为标准型与规范型化二次型为标准形主要有配方法、合同变换法和正交变换法。配方法通过配方逐步消去混合项交叉项集中含某个变量的项配方引入新变量重复直至无混合项 直观易于掌握不依赖矩阵运算 过程可能繁琐所得变换矩阵不一定是正交矩阵合同变换法对二次型矩阵及其单位矩阵做同步的初等行、列变换 1. 构造增广矩阵 [A; I]2. 对A做初等行/列变换时对单位矩阵只做相应的列变换 具有系统性可以同时求出所用的可逆变换矩阵 需要记录变换过程得到的标准形一般不唯一正交变换法通过正交变换由特征向量构建进行对角化写二次型矩阵A求A的特征值求特征向量并正交单位化构造正交矩阵P 标准形系数为特征值几何意义清晰不改变图形形状 计算特征值和特征向量可能复杂标准形唯一由特征值决定 理解标准形与规范形• 标准形指一个二次型通过可逆线性变换后只包含平方项而不包含任何混合项的形式即f k 1 y 1 2 k 2 y 2 2 ⋯ k n y n 2 f k_1y_1^2 k_2y_2^2 \cdots k_ny_n^2fk1​y12​k2​y22​⋯kn​yn2​• 规范形是标准形的一种特殊形式其平方项的系数只能是1 、 − 1 或 0 1、-1 或 01、−1或0即f y 1 2 ⋯ y p 2 − y p 1 2 − ⋯ − y r 2 f y_1^2 \cdots y_p^2 - y_{p1}^2 - \cdots - y_r^2fy12​⋯yp2​−yp12​−⋯−yr2​其中正平方项的个数p pp称为正惯性指数负平方项的个数r − p r-pr−p称为负惯性指数它们是由二次型本身唯一确定的惯性定理。✨ 掌握正交变换的步骤使用正交变换法化二次型为标准形关键在于找到合适的正交矩阵。具体步骤如下写出二次型的矩阵A将二次型f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) x T A x f(x_1, x_2, ..., x_n) x^TAxf(x1​,x2​,...,xn​)xTAx表示为矩阵形式其中 A 是 n 阶实对称矩阵。求矩阵A的特征值和特征向量解特征方程λ E − A 0 \lambda E - A 0λE−A0求出所有特征值λ 1 , λ 2 , . . . , λ n \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_nλ1​,λ2​,...,λn​。对于每个特征值λ i \lambda_iλi​求解齐次线性方程组( λ i E − A ) x 0 (\lambda_i E - A)x 0(λi​E−A)x0得到对应的特征向量。将特征向量正交化和单位化◦ 对于不同特征值对应的特征向量它们已经是正交的。◦ 对于重特征值对应的多个特征向量可能需要使用施密特Schmidt正交化方法将其化为正交向量组。◦ 将所有特征向量单位化。构造正交矩阵P将经过步骤3处理后的单位正交特征向量作为列向量构成正交矩阵 P。正交矩阵满足P − 1 P T P^{-1} P^TP−1PT。进行正交变换令x P y x PyxPy其中 y 是新变量向量。将此变换代入二次型得到标准形f x T A x ( P y ) T A ( P y ) y T ( P T A P ) y y T Λ y λ 1 y 1 2 λ 2 y 2 2 . . . λ n y n 2 f x^TAx (Py)^TA(Py) y^T(P^TAP)y y^T \Lambda y \lambda_1 y_1^2 \lambda_2 y_2^2 ... \lambda_n y_n^2fxTAx(Py)TA(Py)yT(PTAP)yyTΛyλ1​y12​λ2​y22​...λn​yn2​。这里Λ \LambdaΛ是由 A 的特征值组成的对角矩阵。正定二次型